Un service d'hôpital

Extrait du bac ST2S, Nouvelle-Calédonie, 2012.

Un service d’un hôpital comprend trois ailes notées \(\text{U}_1\), \(\text{U}_2\) et \(\text{U}_3\). Un nombre important de patients atteints de la même pathologie y sont soignés, soit avec un médicament fourni par le laboratoire LabA, soit avec un médicament fourni par le laboratoire LabMédi.

Une étude réalisée sur ces patients a montré que :

• \(40~\%\) de ces patients sont hospitalisés dans l’aile \(\text{U}_1\), \(30~\%\) dans l’aile \(\text{U}_2\) et le reste dans l’aile \(\text{U}_3\) ;
• dans l’aile \(\text{U}_1\), \(75~\%\) des patients atteints de cette pathologie sont soignés avec un médicament du laboratoire LabA ;
• dans l’aile \(\text{U}_2\), \(\dfrac{4}{5}\) des patients atteints de cette pathologie sont soignés avec un médicament du laboratoire LabMédi ;
• dans l’aile \(\text{U}_3\), \(25~\%\) des patients atteints de cette pathologie sont soignés avec un médicament du laboratoire LabMédi.
  

On choisit au hasard dans ce service un patient parmi les patients atteints de cette pathologie. On considère les événements suivants :
\(\text{U}_1\) : « le patient choisi est soigné dans l’aile \(\text{U}_1\) »
\(\text{U}_2\) : « le patient choisi est soigné dans l’aile \(\text{U}_2\) »
\(\text{U}_3\) : « le patient choisi est soigné dans l’aile \(\text{U}_3\) »
\(\text{A}\) : « le patient choisi prend le médicament du laboratoire LabA »
\(\text{M}\) : « le patient choisi prend le médicament du laboratoire LabMédi »

1. Calculer la probabilité de l’événement \(\text{U}_3\).
2. On a représenté la situation par un arbre. Recopier et compléter cet arbre.

3. Calculer la probabilité que le patient choisi soit soigné dans l’aile \(\text{U}_2\) et prenne le médicament du laboratoire LabA.
4. Déterminer la probabilité de l’événement \(\text{A}\).
5. Sachant qu’il prend le médicament du laboratoire LabA, déterminer la probabilité que le patient choisi soit hospitalisé dans l’aile \(\text{U}_2\). On arrondira le résultat au millième.